Abitur-Textaufgaben - Lösungsstrategie

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Lösungs-Strategie für Abitur-Textaufgaben (Allgemein)

Einleitung

Die größte Schwierigkeit bei Textaufgaben liegt in der Extraktion der für die Fragestellung der Aufgabe relevanten Informationen. In diesem Artikel soll daher eine allgemeine Lösungs-Strategie aufgezeigt werden.
Zunächst verschafft man sich einen Überblick, indem die gegebenen Zahlenwerte aus dem Aufgabentext herausgeschrieben werden. Anhand der Fragestellung in der Aufgabe wird dann geprüft, ob für die Bearbeitung der Aufgabe ausreichende Angaben in Form von Zahlenwerten vorhanden sind.
Bei Funktionen ist es hilfreich, falls nicht in der Aufgabe bereits angegeben, eine Skizze anzufertigen. Dazu wird vorher eine Wertetabelle erstellt.
Wird zum Beispiel in der Aufgabe gefragt wann etwas maximal oder minimal wird, ist der Hoch- oder der Tiefpunkt zu berechnen. Daher kann es sinnvoll sein, von einer Funktion gleich am Anfang die erste, zweite und dritte Ableitung durchzuführen. Bei manchen Aufgaben ist zum Beispiel die Funktion der zeitlichen Änderung einer Konzentration angegeben. Gefragt wird dann nach der Konzentration zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Zeit ist in der Regel auf der x-Achse aufgetragen. Um diese Konzentration zu berechnen ist die gegebene Funktion, welche die zeitliche Änderung beschreibt, zu integrieren um dadurch die Stammfunktion zu erhalten. Dies ist erforderlich da die gegebenen Funktionswerte die Steigung der Tangente an der Stammfunktion beschreiben. Je größer die Steigung der Tangente die an die Funktion angelegt wird, desto größer ist der Funktionswert der ersten Ableitung. Der Funktionswert kann unter Umständen kleiner als der Funktionswert der Ableitung sein. Bei einer derartigen Aufgabe ist es entscheidend, zu erkennen oder aus der Aufgabenstellung zu entnehmen, was durch die gegebene Funktion beschrieben wird.

Kurvendiskussion

Bei Aufgaben zur Kurvendiskussion ist eine Funktion oder deren Stammfunktion, manchmal auch eine Skizze, gegeben. Die Ableitung einer Funktion kann ebenfalls als Skizze dargestellt sein. Dass es sich bei der dargestellten Funktion um eine Ableitung der Funktion handelt, kann an den Begriffen wie Differenz, zeitliche Änderung, Änderung in einer messbaren Größe erkannt werden. Bei einem messbaren Wert kann da es sich um eine Änderung der Wegstrecke, Füllhöhe eines Behälters, Volumen eines Raumes, usw. handeln.
Häufig wird nach dem Verlauf einer Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls gefragt. Dazu sind dann die Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkte zu betrachten. Eine in einem definierten Intervall monoton steigende Funktion ist daran zu erkennen, dass die Ableitung (Tangente an die Funktion) in dem gefragten Intervall stets positiv ist. Dies kann zum Beispiel am Vorzeichen der ersten Ableitung erkannt werden.
Durch verwendung von Randbedingungen können Funktionswerte an Stellen mit Definitionslücken bestimmt werden. Bei der Suche nach Nullstellen ist zu beachten, dass eine Exponentialfunktion niemals den Wert Null erreichen kann. Das Vorzeichen des Exponenten kann zum Beispiel entscheiden ob der Wert eines Terms gegen Null strebt und somit vernachlässigbar klein wird. Dies ist eine hilfreiche Methode um waagrechte Asymptoten zu bestimmen. Senkrechte Asymptoten können durch die Funktionswerte an den Definitionslücken gefunden werden. Strebt ein Funktionswert in der Nähe einer Definitionslücke gegen Unendlich im positiven oder negativen Bereich, dann liegt dort eine senkrechte Asymptote vor.

Integralrechnung

Bei Aufgaben zur Integralrechnung ist es hilfreich zu verstehen, welches Ziel mit der Integration erreicht wird. Der Wert des Flächeninhalts beschreibt, bei Integration der Geschwindigkeits-Funktion über die Zeit, die zurückgelegte Strecke. Das Integral-Zeichen hat Ähnlichkeit mit einem lang gestreckten S, was für die Summe der einzelnen Flächen unter der Funktion steht. Befinden sich Funktionswerte unterhalb der Abszisse (x-Achse) dann kann der Wert des Flächeninhaltes negativ werden. Befinden sich innerhalb der Integrationsgrenzen Funktionswerte über der x-Achse, dann führt dies zu einem kleineren Flächeninhalt, da von der Fläche über der x-Achse die Fläche welche sich unterhalb der x-Achse befindet subtrahiert wird. Zur korrekten Berechnung der Gesamtfläche werden die Flächen oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse einzeln berechnet. Die einzelnen Flächeninhalte werden dann zu der Gesamtfläche aufsummiert.
Die Flächen zwischen der Funktion und der x-Achse werden aufgeteilt. Dazu werden die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse berechnet. Diese Schnittpunkte auf der x-Achse sind zugleich die Integrationsgrenzen der einzelnen Flächen. Von einer Fläche unter der x-Achse wird der Betrag des Ergebnisses verwendet. Ein Flächeninhalt mit negativem Vorzeichen erhält so ein positives Vorzeichen. Damit kann die Gesamtfläche zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb eines Intervalls fehlerfrei berechnet werden.
Zwischen zwei Funktionen kann ebenfalls eine Fläche eingeschlossen sein. Zur Berechnung dieser Fläche wird die untere Funktion von der oberen subtrahiert. Hier gilt es ebenfalls zu beachten, dass ein negativer Flächeninhalt entstehen kann. Dies ist dann der Fall wenn durch einen Schnittpunkt zwischen den Funktionen die Positionen vertauscht werden. Dann werden innerhalb eines Integrationsintervalls die x-Werte der Schnittpunkte zwischen den beiden Funktionen bestimmt und die Flächen einzeln innerhalb der aufgeteilten Intervalle berechnet. Bei der Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers wird die Funktion quadriert und anschließend im gewünschten Intervall gemäß den Integrationsregeln integriert.

Differenzialrechnung

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Tangente an einem Punkt des Schaubildes. Der Wert der Ableitung ist dann der Steigungswert an dem x-Achsenwert an dem die Tangente an die Funktion gelegt wird. Der Funktionswert der Ableitung an der Postition der x-Achse entspricht dem Wert der Steigung der Tangente an die Funktion. So kann für Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt) die hinreichende Bedingung so formuliert werden, dass man die erste Ableitung Null setzt. Dies ist naheliegend, da am Hoch- oder Tiefpunkt die Steigung der Tangente Null beträgt.
Die Differenzialrechnung kann allerdings auch als Werkzeug in anderen Aufgabenteilen eingesetzt werden. Soll unter einer Funktion zum Beispiel die Fläche eines Dreiecks oder Vierecks so berechnet werden dass die Fläche maximal oder minimal wird, dann ist das Aufstellen einer Zielfunktion ein wichtiger Zwischenschritt. Soll die Fläche maximal werden, wird von der Zielfunktion die erste Ableitung gebildet und dann die Position des Hochpunktes zu berechnet. Falls die minimale Fläche zu berechnen ist, wird die Position des Tiefpunktes berechnet.

Wahrscheinlichkeitsrechung (Stochastik)

Bei Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Baum-Diagramm hilfreich, wodurch die Ereignisse übersichtlich dargestellt werden können. Für jeden Pfad, der ein Ereigniss darstellt, besteht eine definierte Wahrscheinlichkeit. Die Notation kann häufig verwirrend sein. Das Ereignis wird duch einen Buchstaben dargestellt. Das Gegen-Ereignis durch einen Buchstaben mit einem Balken über dem, das Ereignis bezeichnenden Buchstaben. Hilfreich kann es sein, sich mit den Begriffen: Irrtumswahrscheinlichkeit, Signifikanz, Gauss-Normalverteilung, Standardabweichung usw. vertraut zu machen. Eine normierte Gauss-Funktion ergibt durch die Integration zwischen einem unendlichen Wert im negativen Bereich der x-Achse und einem unendlich hohen Wert im positiven Bereich der x-Achse einen Wert von Eins. Dies entspicht dann 100 % . Der Abstand der Wendepunkte einer Gauss-Funktion vom Sollwert entspricht der Standardabweichung. Wird die Gauss-Funktion innerhalb der Standardabweichung integriert, ergibt dies eine Fläche die 68 % der Gesamtfläche beträgt.


Vektor-Rechnung

Eine Gerade wird durch einen Stütz- und Richtungsvektor beschrieben. Der Stützvektor gibt die Position im Raum an, von wo durch den Richtungsvektor die Richtung der Geraden beschrieben wird. Vor dem Richtungsvektor steht eine Variable, durch welche der Richtungsvektor beliebig verlängert werden kann. Wenn in einer Textaufgabe zwei Punkte gegeben sind, dann kann eine Geradengleichung in Parameter-Form aufgestellt werden. Dazu wird einer der Punkte als Stützvektor gewählt und die Differenz der beiden Punkte als Richtungsvektor. Vor dem Richtungsvektor steht noch eine Variable.
Sind drei Punkte im Raum gegeben, dann kann damit eine Ebene beschrieben werden. Von einem Stützvektor aus wird durch die beiden Richtungsvektoren eine Ebene beschrieben. Die beiden Richtungsvektoren spannen eine Ebene auf. Wenn sich zwei Ebenen schneiden ergibt dies die Gleichung einer Schnittgeraden mit einem Stütz- und einem Richtungsvektor. Die Herausforderung besteht darin, die Punkte zu erkennen durch welche eine Gerade oder Ebene beschrieben werden kann. Dazu kann es hilfreich sein, eine nicht maßstabsgetreue Skizze anzufertigen in welche die einzelnen Punkte mit Koordinaten eingetragen werden.
Ein Vektor wird normiert indem er durch seinen Betrag dividiert wird. Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an. Normierte Vektoren sind dann sinnvoll wenn von einem definierten Punkt aus ein Punkt berechnet werden soll der eine bestimmte Entfernung von einem anderen Punkt hat.

Trigonometrische Funktionen

Eine Sinus-Funktion hat einen periodischen Verlauf. Die Amplitude der Funktion hängt von dem Vorfaktor ab. Je größer der Wert des Vorfaktors, desto größer ist die Amplitude. Eine gedämpfte Schwingung beginnt mit einer hohen Amplitude und endet mit größer werdendem x-Wert mit einer kleineren. Dies ist dadurch zu erklären, dass der Vorfaktor der trigonometrischen Funktion eine Funktion enthält, die mit größer werdendem x-Wert gegen Null strebt. Wird diese Funktion mit der trigonometrischen Funktion multipliziert, dann wird die Amplitude mit fortschreitendem x-Wert kleiner.
Ein Ansteigen der Amplitude mit steigenden x-Werten ist ebenfalls möglich. Dazu wird vor der Sinus-Funktion eine Funktion gewählt, deren Wert bei größer werdendem x-Wert gegen unendlich strebt.

Aufgaben zum Wachstum

Häufig wird eine Tabelle mit Messwerten vorgegeben. Daraus ist dann zu ermitteln, um welche Art von Wachstum es sich handelt. Die Vermehrung einer Population kann durch eine Funktion oder Zahlenwerte gegeben sein. Die Basis der Funktion kann aus den Werten berechnet werden. Dazu wird ein aktuell betrachteter Zahlenwert durch den vorigen dividiert. Dies wird mit allen Zahlenwerten, die z.B. eine Messreihe sein können, durchgeführt. Sind die berechneten Werte gleich oder annähernd gleich, dann liegt ein exponentielles Wachstum vor. Als Basis wird beim aufstellen der Wachstumsfunktion die Eulersche Zahl e als Basis verwendet. Daher wird der Exponent mit einer Konstante multipliziert. Häufig ist aus den gegebenen Zahlenwerten die Wachstumskonstante, die im Exponenten steht, zu ermitteln. Handelt es sich bei dem Vorgang während dem zeitlichen Verlauf um eine Abnahme, hat die Wachstumskonstante im Exponenten ein negatives Vorzeichen. Durch das Minus-Zeichen wird eine Abnahme angedeutet. Wenn in einer gegebenen Funktion im Exponenten ein negatives Vorzeichen zu sehen ist, handelt es sich wahrscheinlich um einen Zerfall. Ein Zerfall ist mit einem negativen Wachstum vergleichbar.
Soll die Halbwertszeit berechnet werden, dann ist es wichtig zu wissen dass dies der Zeitpunkt ist, an dem noch die Hälfte der ursprünglichen Menge vorhanden ist. Die Exponentialfunktion ist dann nach der Zeit t umzustellen. Eine Variable kann durch logarithmieren aus dem Exponenten geholt werden. Die Basis der verwendeten Logarithmusfunktion muss die gleiche sein wie die des Terms aus dem der Exponent geholt werden soll.

Weitere Hinweise

Die mathematischen Methoden (Ableitung, Integration, usw.) sind lediglich das Werkzeug zur Bearbeitung der Aufgaben. Die Reihenfolge und die Anwendung ist durch die individuelle Aufgabenstellung festgelegt.
Beim Differenzieren oder Integrieren sind die jeweiligen Regeln mit den dazugehörigen Ausnahmen zu beachten. Hilfreich ist es die äussere und die innere Funktion zu erkennen. Durch Substitution kann eine komplizierte Funktion vereinfacht werden um die entsprechenden Rechenregeln anzuwenden. Dies kann bei der Integration und Ableitung von verketteten Funktionen hilfreich sein. Dies ist zum Beispiel bei der Funktion f(x)=sin(2x) der Fall. Die äussere Funktion ist die Sinus-Funktion und die innere Funktion ist der Term 2x . Nach der Kettenregel wird zuerst die äussere Funktion abgeleitet und dann mit der Ableitung er inneren Funktion multipliziert. In diesem Fall ergibt dies f'(x)=2*cos(2x) . Weshalb die Ableitung der Sinus-Funktion die Cosinus-Funktion ergibt kann durch betrachtung der Tangentensteigung an den entsprechenden Stellen der Funktion erklärt werden. Der Hoch- oder Tiefpunkt einer Sinus-Funktion wo die Steigung der Tangente den Wert Null hat, ergibt eine Nullstelle. An den Wendepunkten ergeben sich je nach Verlauf der Funktion Hoch- oder Tiefpunkte. Die Cosinus-Funktion ist eine um eine viertel Periode auf der x-Achse nach links verschobene Sinus-Funktion.


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